3. Black-Sholes(-Merton) Model

결론

---

먼저 결론부터 말하면 블랙-숄즈 모형으로부터 도출되는 옵션가격은 아래와 같다.

단, 여기서 는 각각 콜옵션과 풋옵션의 가격, 은 현재 기초자산의 가격이고, 는 행사가격이다. 은 무위험이자율이며 는 만기시점이다. 뿐만 아니라 는 표준정규분포의 누적확률분포함수이며, 과 는 각각

이다.

유도

---

(엄밀한 증명같은 거는 따로 공부를 더 해야 한다.)

가정

 1. 세금 및 수수료 등 거래에 따르는 비용은 없으며, 투자자는 자유롭게 공매도(Short selling) 할 수 있다.
  2. 파생상품 잔존만기 동안 주식은 배당을 지급하지 않는다.
  3. 시간은 연속적(continuous)이며, 시장에서 무위험 차익거래 기회는 존재하지 않는다.
  4. 파생상품의 잔존만기 동안 무위험수익률()은 일정하다.
  5. 주가는 기하 브라운 운동(Geometric Brownian Motion)을 따른다.

유도 과정

먼저 시점 의 주가 가 다음의 확률미분방정식을 따른다고 가정한다.

이 때 는 표준 브라운 운동이다. 는 기대수익률, 은 변동성이다. 이제 로그함수 를 생각하자. 이토의 보조정리를 적용한 뒤 시간 구간 에 대해 적분하면

를 얻는다. 이 때 가 평균이 0이고 분산이 인 정규분포를 따르므로, 역시 정규분포를 따름을 알 수 있다.

즉, 주가는 로그노말분포를 따르는 것.

한편 위의 식에 양변에 를 취하면

를 얻는다. 주가가 로그노말분포를 따르므로 다음을 얻을 수 있다.

를 얻을 수 있고

임 역시 얻을 수 있다.

이제 옵션평가를 위해 무위험 자산을 하나 더 도입하자. 무위험 이자율을 상수 이라고 하고 그 자산의 가격을 라고 하고,

이라고 가정하자. 즉, 이다. 이제 라고 정의하면 무재정거래(no-arbitrage)조건 하에서 다음을 유도할 수 있다.

여기서 가 마팅게일이 되도록 적절한 확률측도(risk neutral measure) 를 잡으면 해당 측도 하에서는

가 성립한다. 따라서

가 된다. 한편 증가량 는 평균이 0이고 분산이 인 정규분포를 따른다. 표준정규분포를 따르는 확률변수 라 쓰면, 위의 식은 아래와 같이

로 표현될 수 있다.

또한

라 된다.

이제 콜옵션의 현재 가격은

이다. 먼저 를 생각해보자.

이다. 이를 에 대한 부등식으로 정리하면

이다. 그러므로 는

이다. 이제 이를 이용해 를 계산하면

이고, 여기서

이다. 따라서 콜옵션의 현재 가격은

이다. 풋옵션의 현재 가격은, 풋-콜 패리티(Put-Call Parity)를 이용하면

임을 알 수 있다.