2. 이토적분(Ito Integral)

(구체적인 유도 등은 확률미적분 책 등으로 공부가 필요)

정의

먼저 분할 를 잡자. 임의의 평균 제곱 적분 가능 확률과정 에 대해 이토 적분은 다음과 같은 확률변수이다.

이토 적분은 선형결합이 가능하다. 즉, 다음이 성립한다.

또한 이토 적분의 평균은 0이다.

세 번째로, 이토 적분 과정

는 마팅게일이다. 뿐만 아니라 의 경로는 항상 연속이고, 이 과정의 이차변동은

가 된다. 즉 이토 적분의 이차변동은 ‘적분함수의 제곱을 시간에 대해 적분한 것’이 된다.

마지막으로

역시 성립한다.

일반적인 미분에서 에 대해 체인룰은 다음과 같음

가 성립함. 그러나 브라운 운동의 경로는 미분가능하지 않으므로 이렇게 사용할 수 없다. 이 때문에 이토의 보조정리가 필요하다.

아주 작은 시간 간격 에서의 증가량 를 생각하면 이는 평균은 0, 분산이 인 정규분포를 따른다. 이제 를 근방에서 2차 테일러 전개를 하면

이다. 이제 위의 테일러 전개를 시간 전체에 대해 합하고 으로 극한을 취하면

가 모든 에 대해 성립한다. 형식적인 미분 기호를 사용하면 위의 식은

라고 쓴다. 이 표현에서 로 취급하고 나 는 0으로 두는 계산 규칙이 등장한다. 브라운 운동의 이차 변동 라는 사실이 이 규칙의 이론적인 배경.

좀 더 일반적으로 가보자. 이토 과정의 전형적인 형태는 다음과 같다.

여기서 는 추세율(drift), 는 변동성(volatility coefficient)에 해당한다. 그리고 이들은 함수이며 시간()과 에 모두 의존하는 함수이다. 이토의 보조정리에 따르면,

가 성립한다.

예를 들어보자. 주가의 단순수익률이 위와 같은 과정을 따른다고 하자. 즉,

이다(즉, 이다). 어떤 적절한 함수 를 생각할 때 여기에 이토 보조정리를 적용하면

와 같은 식을 얻게 되는 것.