1. 브라운 운동(Brownian Motion)

정의

---

각 시점 에 대응되는 브라운 운동 은 다음을 만족하는 연속확률과정이다.

한편 이 브라운 운동이 (거의 확실한;almost surely) 연속이므로 다음이 성립한다.

성질

---

브라운 운동 은 다음의 특성을 만족한다.

이에 따라 다음의 성질이 유도될 수 있다.

아주 작은 시간 간격 동안의 증가량 은 평균이 0이고 분산이 인 정규분포를 따름. 즉, 이 증가량의 표준편차는 이다.

또한 브라운 운동은 스케일 불변성을 가진다. 양의 상수 에 대해 확률과정 를 라고 정의하면, 역시 와 동일한 분포를 가지게 된다. 즉, 시간 단위를 배로 늘리고 값의 크기를 로 나누면 원래와 같은 통계적 성질을 갖는 것이다.

한편 브라운 운동은 마팅게일(martingale)이다. 즉, 과거의 모든 정보를 알고 있다면, 미래의 (조건부) 기대값은 현재의 값과 동일하다.

(단, 여기서 .)

또한 브라운 운동은 마르코프(Markov) 과정이기 때문에 미래의 분포를 알기 위해서는 과거 전체 경로가 아니라 현재시점의 값 만 알면 충분하다.

마지막으로, 브라운 운동에서 특히 중요한 개념은 이차변동(quadratic variation)이다. 시간에 대해 닫힌 구간 에 대해, 이 구간을 잘게 나누어보자. 즉, 에 대해 이차변동 를 계산하자. 그리고 이제 분할을 점점 더 잘게 쪼개보자(). 이 때 이차변동은 로 거의 확실하게 수렴(almost sure convergence)한다. 한편 브라운 운동의 증가량의 표준편차가 이므로, 증가량의 크기가 대략적으로 이와 같고 그 제곱은 곧 이다. 이 사실이 나중에 이토적분에서 는 로 취급하고, 나 는 0으로 본다와 같은 계산 규칙으로 나타난다.

미분가능성

---

이제 이 확률과정의 미분 가능성에 대해 살펴보자. 보통 미분을 정의하려면

가 일 때 유한한 값으로 수렴해야 한다. 그런데 브라운 운동에서는 위 식의 분자는 대략적으로 표준편차인 이다. 따라서 위의 식은 에 따라 발산한다. 즉 거의 모든 경로에서 미분계수의 극한이 존재하지 않는 것.

적분 가능성

---

브라운 운동은 유계변동함수가 아니기 때문에, 리만-스틸체스 적분

가 정의되지 않는다. 뿐만 아니라 특정 시점에서 우리는 미래 시점에 대한 정보를 알 수 없기 때문에, 즉 ‘현재 시점까지의 정보’만 이용 가능하기 때문에 이러한 비예측성(적응성)을 적분의 정의에 반영할 필요가 있다. 그래서 이토 적분이 등장했다.